Момент инерции тела относительно оси определение. Момент инерции тела относительно оси. Изменение моментов инерции при перемене осей

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела m i , на квадраты их расстояний r i до точки, оси или плоскости:

Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси.

Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r:

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПЛОСКОСТЕЙ И НАЧАЛА ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.

Момент инерции относительно начала координат (полярный момент инерции):

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСЕВЫМИ, ПЛОСКОСТНЫМИ И ПОЛЯРНЫМ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ:

Значения осевых моментов инерции некоторых геометрических тел приведены в табл. 1.

Таблица 1. Момент инерции некоторых тел

Фигура или тело

	При с→0 получается прямоугольная пластина

ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕНЕ ОСЕЙ

Момент инерции I u 1 относительно оси u 1 , параллельной данной оси u (рис. 1):

где I u - момент инерции тела относительно оси u; l(l 1) - расстояние от оси u (от оси u 1) до параллельной им оси u с, проходящей через центр масс тела; а - расстояние между осями u и u 1 .

Рисунок 1.

Если ось u центральная (l=0), то

т. е. для любой группы параллельных осей момент инерции относительно центральной оси наименьший.

Момент инерции I u относительно оси u, составляющей углы α, β, γ с осями декартовых координат х, у, z (рис. 2):

Рисунок 2.

Оси х, у, z главные, если

Момент инерции относительно оси u, составляющей углы α, β, γ c главными осями инерции х, у, z:

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ:

где - центробежный момент инерции относительно центральных осей х с, y с, параллельных осям х, у; М - масса тела; x с, y с - координаты центра масс в системе осей х, у.

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ x, y ВОКРУГ ОСИ z НА УГОЛ α В ПОЛОЖЕНИЕ x 1 y 1 (рис. 3):

Рисунок 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ. Ось материальной симметрии тела - главная ось инерции тела.

Если плоскость xОz является плоскостью материальной симметрии тела, то любая из осей y - главная ось инерции тела.

Если положение одной из главных осей z гл известно, то положение двух других осей x гл и y гл определяется поворотом осей х и у вокруг оси z гл на угол φ (рис. 3):

ЭЛЛИПСОИД И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИНЕРЦИИ. Эллипсоидом инерции называется эллипсоид, оси симметрии которого совпадают с главными центральными осями тела x гл, y гл, z гл, а полуоси а х, а у, а z равны соответственно:

где r уО z , r х Oz , r xOy - радиусы инерции тела относительно главных плоскостей инерции.

Параллелепипедом инерции называется параллелепипед, описанный вокруг эллипсоида инерции и имеющий с ним общие оси симметрии (рис. 4).

Рисунок 4.

РЕДУЦИРОВАНИЕ (ЗАМЕНА С ЦЕЛЬЮ УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА) ТВЕРДОГО ТЕЛА СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ . При вычислении осевых, плоскостных, центробежных и полярных моментов инерции тело массой М можно редуцировать восемью сосредоточенными массами М/8, расположенными в вершинах параллелепипеда инерции. Моменты инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов вычисляются по координатам вершин параллелепипеда инерции x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) по формулам:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

1. Определение моментов инерции тел вращения с использованием дифференциального уравнения вращения - см. формулы ("Вращательное движение твердого тела") .

Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводится во вращение вокруг нее с помощью груза Р, прикрепленного к гибкой нити, навернутой на исследуемое тело (рис. 5), при этом замеряется время t опускания груза на высоту h. Для исключения влияния трения в точках закрепления тела на оси х опыт производится несколько раз при разных значениях веса груза Р.

Рисунок 5.

При двух опытах с грузами Р 1 и Р 2

2. Экспериментальное определение моментов инерции тел посредством изучения колебаний физического маятника (см. 2.8.3) .

Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной оси х (нецентральной) и замеряют, период малых колебаний около этой оси Т. Момент инерции относительно оси х определится по формуле

где Р - вес тела; l 0 - расстояние от оси вращения до центра масс С тела.

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики

Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: .
Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
.
Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
.
Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна:
Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции

Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики

Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки

Траектория точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки:
.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
,
где — углы между вектором скорости и осями координат.
Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела

В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела.
Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
— угловая скорость, рад/с;
— угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
Модуль линейной скорости:
.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
,
где .
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение: ;
нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики

Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:

где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела.
Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
.
Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои

Совокупность материальных точек или тел, когда положение или движение каждой точки зависит от положения или движения остальных, называется механической системой .

Внешними называются силы, действующие на части (точки) системы со стороны точек или тел не входящих в систему. Обозначаются как .

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек этой же системы. Обозначаются они как .

Внешние и внутренние силы могут быть активными или реакциями связей, разделение сил на внешние и внутренние условно и зависит от конкретной задачи.

Свойства внутренних сил:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равняется нулю.

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю:

Первое свойство основано на пятой аксиоме статики, то есть каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по величине и противоположно направленная.

Второе свойство внешне похоже на условия равновесия, хотя таковым не является, так как внутренние силы прилагаются к разным точка системы и могут вызвать относительные перемещения.

Движение системы зависит от ее суммарной массы и ее распределения. Каждый точка системы с массой может быть охарактеризована своим радиус-вектором .

Центром масс системы называется точка С радиус-вектор которой определяется по формуле:

где , масса системы равная арифметической сумме масс всех точек системы.

О распределении масс можно судить по положению центра тяжести. Подставляя в формулы координат центра тяжести (7.2.2) ; Р = Мg, получаем

Положение центра масс системы (или центра инерции) в каждый момент времени зависит только от положения и массы каждой точки системы.

Центр масс системы совпадает с их центром тяжести. Понятие центр тяжести применимо к твердым телам, а понятие центр масс - к любым системам точек или тел.

Так как положение центра масс системы характеризует распределение масс не полностью, то вводят еще одну величину - момент инерции .

Моментом инерции системы (тела) относительно оси (осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек (тел) системы на квадраты их расстояний от этой оси.

Пусть это будет ось Oz. Тогда

Осевой момент является мерой инертности системы точек (тел) при вращательном движении, размерность: в системе единиц СИ - .

В выражении через координаты осевой момент инерции J относительно осей запишется:

Радиусом инерции тела относительно оси (Oz), называется линейная величина , определяемая зависимостью

где М - масса тела, - расстояние от оси Oz до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу М тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.

Моменты инерции относительно осей (15.3.1), зависят от выбора этих осей и относительно этих осей разные.

Гюйгенс показал, что, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, можно найти его относительно любой другой оси, ей параллельной (рис. 75 )

Проведем через центр масс С тела оси Cx"y"z", а через точку О - xyz параллельные между собой.

Обозначим расстояние ОС через d. Тогда:

В правой части уравнения (15.3.6) первая сумма является соотношением (15.3.5). вторая сумма - это масса тела М. Так как точка С является центром масс, то из уравнения (15.2.2) получаем

но точка С одновременно является и началом координат, где = 0, то есть третья сумма равна нулю. Итак

Это аналитическое выражение теоремы Гюйгенса: Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

В механике под твердым телом понимают систему материальных точек, расстояние между любыми двумя точками которого в процессе движения остается неизменным. Поэтому все результаты, полученные в предыдущих темах (“Динамика материальной точки”, “Закон сохранения импульса”, “Закон сохранения энергии” и “Закон сохранения момента импульса”) для системы материальных точек, применимы и к твердому телу.

Момент инерции твердого тела

Момент инерции – это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением

где- элементарные массы тела;- их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (1)

где
– масса элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, можно найти момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной. Используя теорему Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы телат на квадрат расстояния между осями :

(2)

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительномомент инерции относительно точки . Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений.

Рассмотрим некоторую точку твердого тела массой и с координатами
относительно прямоугольной системы координат (рис. 1). Квадраты расстояний ее до координатных осей
равны соответственно

а моменты инерции относительно тех же осей

(3)

Сложив эти равенства и просуммировав по всему объему тела

(5)

где
– момент инерции телаотносительно точки.

Из этого выражения можно получить связь между моментами инерции плоского тела, относительно осей
. Пусть масса плоского тела сосредоточена в плоскости
т.е. координаталюбой точки такого тел равна нулю, тогда из

уравнений (3) и (4) следует, что

(6)

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело массой , вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. Для того чтобы получить уравнение, описывающее это движение, применим уравнение моментов относительно оси, полученное в разделе “ Закон сохранения момента импульса”

, (7)

напомним, что в этом уравнении и
– момент импульса и момент силы относительно оси, вокруг которой вращается твердое тело.

Момент импульса некоторой точки тела массой
вращающейся по окружности радиусасо скоростью, равен

Просуммировав по всему объему тела, учитывая, что
получим

Таким образом, момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Подставляя полученное выражение в (7), получим уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

или
(8)