Пропорцийг яаж хийх вэ. Пропорцийг ашиглан асуудлыг шийдэх. Пропорцын үндсэн шинж чанар

Математикийн үүднээс авч үзвэл пропорци гэдэг нь хоёр харьцааны тэгш байдал юм. Харилцан хамаарал нь пропорцын бүх хэсгүүдийн шинж чанар бөгөөд тэдгээрийн өөрчлөгдөөгүй үр дүн юм. Та пропорцын шинж чанар, томьёотой танилцсанаар пропорцийг хэрхэн бүтээхийг ойлгож чадна. Пропорцийг шийдэх зарчмыг ойлгохын тулд нэг жишээг авч үзэхэд хангалттай. Пропорцийг шууд шийдэж байж л та эдгээр чадварыг хурдан бөгөөд амархан сурч чадна. Мөн энэ нийтлэл уншигчдад энэ талаар туслах болно.

Пропорц ба томъёоны шинж чанарууд

1. Пропорцийг эргүүлэх. Өгөгдсөн тэгшитгэл нь 1a: 2b = 3c: 4d шиг харагдах тохиолдолд 2b: 1a = 4d: 3c гэж бичнэ. (Мөн 1a, 2b, 3c, 4d нь 0-ээс бусад анхны тоонууд).
2. Өгөгдсөн пропорциональ нөхцлүүдийг хөндлөн үржүүлэх. Шууд утгаараа дараах байдлаар харагдана: 1a: 2b = 3c: 4d, 1a4d = 2b3c бичих нь үүнтэй тэнцэнэ. Тиймээс аль ч пропорцын туйлын хэсгүүдийн үржвэр (тэгш байдлын ирмэг дээрх тоонууд) нь дунд хэсгийн үржвэртэй (тэгш байдлын дунд байрлах тоонууд) үргэлж тэнцүү байдаг.
3. Пропорцийг гаргахдаа түүний хэт ба дунд нэр томъёог өөрчлөх шинж чанар нь бас ашигтай байж болно. 1a: 2b = 3c: 4d тэгшитгэлийн томъёог дараах байдлаар харуулж болно.
   • 1a: 3c = 2b: 4d (пропорцын дунд гишүүнийг өөрчлөх үед).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (пропорцын туйлын нөхцөлийг өөрчлөх үед).
4. Түүний өсөх, буурах шинж чанар нь пропорцийг шийдвэрлэхэд төгс тусалдаг. 1a: 2b = 3c: 4d үед бичнэ үү:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (пропорцийг нэмэгдүүлэх замаар тэгш байдал).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (пропорцийг бууруулах замаар тэгш байдал).
5. Та нэмэх, хасах замаар пропорц үүсгэж болно. Пропорцийг 1a:2b = 3c:4d гэж бичихэд:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорцийг нэмэх замаар хийнэ).
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорцийг хасах замаар тооцно).
6. Мөн бутархай эсвэл их тоо агуулсан пропорцийг шийдэхдээ түүний хоёр гишүүнийг ижил тоогоор хувааж эсвэл үржүүлж болно. Жишээ нь: 70:40=320:60 пропорцын бүрдэл хэсгүүдийг дараах байдлаар бичиж болно: 10*(7:4=32:6).
7. Пропорцийг хувь хэмжээгээр шийдэх сонголт иймэрхүү харагдаж байна. Жишээ нь: 30=100%, 12=x гэж бичнэ. Одоо та дунд гишүүн (12*100) үржүүлж, мэдэгдэж буй туйл (30)-д хуваах хэрэгтэй. Тиймээс хариулт нь: x=40%. Үүнтэй адилаар, хэрэв шаардлагатай бол та мэдэгдэж буй туйлын нэр томъёог үржүүлж, өгөгдсөн дундаж тоогоор хувааж, хүссэн үр дүнг гаргаж болно.

Хэрэв та тодорхой пропорцын томъёог сонирхож байгаа бол хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн түгээмэл хувилбарт пропорц нь дараах тэгшитгэл (томъёо): a/b = c/d, a, b, c, d нь дөрвөн бус байна. тэг тоо.

§ 125. Пропорцын тухай ойлголт.

Пропорц гэдэг нь хоёр харьцааны тэгш байдал юм. Пропорц гэж нэрлэгддэг тэгш байдлын жишээг энд үзүүлэв.

Анхаарна уу. Пропорц дахь хэмжигдэхүүнүүдийн нэрийг заагаагүй болно.

Пропорцийг ихэвчлэн дараах байдлаар уншина: 2 нь 1 (нэгж), 10 нь 5 хүртэл (эхний хувь). Та үүнийг өөрөөр уншиж болно, жишээ нь: 2 нь 1-ээс хэд дахин их, 10 нь 5-аас хэд дахин их. Гурав дахь пропорцийг дараах байдлаар уншиж болно: - 0.5 нь 2-оос хэд дахин бага, 0.75 нь хэд дахин бага байна. 3-аас бага байна.

Пропорцонд орсон тоонуудыг дуудна пропорциональ гишүүд. Энэ нь хувь хэмжээ нь дөрвөн гишүүнээс бүрддэг гэсэн үг юм. Эхний болон сүүлчийн гишүүдийг, өөрөөр хэлбэл ирмэг дээр зогсож буй гишүүдийг дууддаг туйлын, мөн дунд байрлах пропорцын нөхцөлийг дуудна дундажгишүүд. Энэ нь эхний пропорциональ дахь 2 ба 5-ын тоо нь туйлын гишүүн байх ба 1 ба 10-ын тоо нь пропорцын дунд гишүүн болно гэсэн үг юм.

§ 126. Пропорцын үндсэн шинж чанар.

Пропорцийг анхаарч үзээрэй:

Түүний туйл ба дунд гишүүнийг тус тусад нь үржүүлье. Хэт туйлуудын үржвэр нь 6 4 = 24, дунд хэсгийн үржвэр нь 3 8 = 24.

Өөр пропорцийг авч үзье: 10: 5 = 12: 6. Энд бас туйл ба дунд гишүүнийг тусад нь үржүүлье.

Хэт туйлуудын үржвэр нь 10 6 = 60, дунд хэсгийн үржвэр нь 5 12 = 60 байна.

Пропорцын үндсэн шинж чанар: пропорцын туйлын гишүүний үржвэр нь түүний дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.

Ерөнхийдөө пропорцын үндсэн шинж чанарыг дараах байдлаар бичнэ. зар = МЭӨ .

Үүнийг хэд хэдэн хувь хэмжээгээр шалгаж үзье:

1) 12: 4 = 30: 10.

Энэ пропорц нь зөв, учир нь түүний бүрдсэн харьцаа тэнцүү байна. Үүний зэрэгцээ пропорциональ (12 10) ба дунд гишүүний үржвэр (4 30) -ийн хэт нөхцлийн үржвэрийг авч үзвэл тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү болохыг харах болно, өөрөөр хэлбэл.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорц нь зөв бөгөөд үүнийг эхний болон хоёр дахь харьцааг хялбарчлах замаар шалгахад хялбар байдаг. Пропорцын үндсэн шинж чанар нь дараах хэлбэртэй байна.

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Хэрэв зүүн талд хоёр тооны үржвэр, баруун талд нь өөр хоёр тооны үржвэр байх тэгш байдлыг бичвэл эдгээр дөрвөн тооноос пропорцийг гаргаж болно гэдгийг батлахад хэцүү биш юм.

Хосоор үржүүлсэн дөрвөн тоог багтаасан тэгшитгэлтэй болгоё.

эдгээр дөрвөн тоо нь пропорциональ гишүүн байж болох бөгөөд эхний үржвэрийг туйлын гишүүний үржвэр, хоёр дахь нь дунд гишүүний үржвэр гэж үзвэл бичихэд хэцүү биш юм. Нийтлэгдсэн тэгш байдлыг жишээлбэл, дараах хувь хэмжээгээр нэгтгэж болно.

Ерөнхийдөө тэгш байдлаас зар = МЭӨ Дараахь харьцааг авч болно.

Дараах дасгалыг өөрөө хий. Хоёр хос тооны үржвэрийг өгснөөр тэгшитгэл тус бүрт тохирох пропорцийг бичнэ үү.

a) 1 6 = 2 3;

b) 2 15 = b 5.

§ 127. Пропорцын үл мэдэгдэх нөхцлийн тооцоо.

Пропорцын үндсэн шинж чанар нь үл мэдэгдэх пропорцын аль нэг нөхцөлийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Пропорцийг авч үзье:

X : 4 = 15: 3.

Энэ хувь хэмжээгээр нэг туйлширсан гишүүн тодорхойгүй байна. Аль ч пропорциональ хувьд туйлын гишүүний үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байдгийг бид мэднэ. Үүний үндсэн дээр бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

x 3 = 4 15.

4-ийг 15-аар үржүүлсний дараа бид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

X 3 = 60.

Энэ тэгш байдлыг авч үзье. Үүнд эхний хүчин зүйл тодорхойгүй, хоёр дахь хүчин зүйл нь мэдэгдэж, бүтээгдэхүүн нь мэдэгддэг. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд бүтээгдэхүүнийг өөр (мэдэгдэж байгаа) хүчин зүйлээр хуваахад хангалттай гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь энэ нь гарч ирнэ:

X = 60:3, эсвэл X = 20.

20-ын оронд орлуулан олдсон үр дүнг шалгая X энэ хувь хэмжээгээр:

Пропорц зөв байна.

Пропорцын үл мэдэгдэх хэт гишүүнийг тооцоолохын тулд ямар үйлдэл хийх ёстойг бодъё. Пропорцын дөрвөн нөхцлөөс зөвхөн туйлын нэг нь бидэнд мэдэгдээгүй; дунд хоёр, хоёр дахь туйл нь мэдэгдэж байсан. Пропорцын туйлын гишүүнийг олохын тулд эхлээд дунд гишүүн (4 ба 15) үржүүлж, дараа нь олдсон бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй туйлын гишүүнд хуваана. Одоо бид пропорцын хүссэн туйлшралыг эхний ээлжинд биш, харин сүүлчийнх нь байсан бол үйлдлүүд өөрчлөгдөхгүй гэдгийг харуулах болно. Пропорцийг авч үзье:

70: 10 = 21: X .

Пропорцын үндсэн шинж чанарыг бичье: 70 X = 10 21.

10 ба 21 тоог үржүүлснээр бид тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

70 X = 210.

Энд нэг хүчин зүйл тодорхойгүй, үүнийг тооцоолохын тулд бүтээгдэхүүнийг (210) өөр хүчин зүйлд (70) хуваахад хангалттай.

X = 210: 70; X = 3.

Тиймээс бид үүнийг хэлж чадна пропорцын туйлын гишүүн бүр нь дундаж утгуудын үржвэрийг нөгөө туйлд хуваасантай тэнцүү байна.

Одоо үл мэдэгдэх дундаж гишүүний тооцоолол руу шилжье. Пропорцийг авч үзье:

30: X = 27: 9.

Пропорцын үндсэн шинж чанарыг бичье.

30 9 = X 27.

30-аас 9-ийн үржвэрийг тооцоолж, сүүлчийн тэгшитгэлийн хэсгүүдийг дахин цэгцэлье.

X 27 = 270.

Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олъё:

X = 270:27, эсвэл X = 10.

Орлуулах замаар шалгацгаая:

30:10 = 27:9. Пропорц зөв байна.

Өөр пропорцийг авч үзье:

12: b = X : 8. Пропорцын үндсэн шинж чанарыг бичье.

12 . 8 = 6 X . 12 ба 8-ыг үржүүлж, тэгш байдлын хэсгүүдийг дахин цэгцлэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

6 X = 96. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг ол:

X = 96:6, эсвэл X = 16.

Тиймээс, Пропорцын дунд гишүүн бүр нь туйлын үржвэрийг нөгөө дунд хэсэгт хуваасантай тэнцүү байна.

Дараах пропорцуудын үл мэдэгдэх нөхцөлийг ол.

1) А : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: б = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .

Сүүлийн хоёр дүрмийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

1) Хэрэв пропорц нь дараах байдалтай байвал:

x: a = b: c , Тэр

2) Хэрэв пропорц нь дараах байдалтай байвал:

a: x = b: c , Тэр

§ 128. Пропорцийг хялбарчлах, түүний нөхцөлийг өөрчлөх.

Энэ хэсэгт бид их тоо эсвэл бутархай нэр томъёог агуулсан тохиолдолд пропорцийг хялбарчлах боломжийг олгодог дүрмийг гаргаж авах болно. Пропорцийг зөрчөөгүй өөрчлөлтүүдэд дараахь зүйлс орно.

1. Дурын харьцааны хоёр гишүүнийг нэгэн зэрэг ижил тоогоор нэмэгдүүлэх буюу багасгах.

ЖИШЭЭ 40:10 = 60:15.

Эхний харьцааны хоёр гишүүнийг 3 дахин үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

120:30 = 60: 15.

Пропорцийг зөрчөөгүй.

Хоёрдахь харилцааны хоёр гишүүнийг 5 дахин бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Бид дахин зөв харьцааг олж авлаа.

2. Өмнөх болон дараачийн хоёр гишүүний аль алиныг нь ижил тооны удаагаар нэмэгдүүлэх буюу багасгах.

Жишээ. 16:8 = 40:20.

Хоёр харилцааны өмнөх нөхцөлийг хоёр дахин нэмэгдүүлье.

Бид зөв пропорцийг авсан.

Хоёр харилцааны дараагийн нөхцлүүдийг 4 дахин бууруулъя.

Пропорцийг зөрчөөгүй.

Хүлээн авсан хоёр дүгнэлтийг дараах байдлаар товч тайлбарлаж болно: Хэрэв бид пропорцын аль ч туйлын гишүүн болон дундын аль нэгийг ижил тоогоор нэмэгдүүлэх буюу багасгах тохиолдолд пропорцийг зөрчихгүй.

Жишээлбэл, 16:8 = 40:20 харьцааны 1-р туйл ба 2-р дунд гишүүнийг 4 дахин бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

3. Пропорцын бүх гишүүнийг нэгэн зэрэг ижил тоогоор нэмэгдүүлэх буюу багасгах. Жишээ. 36:12 = 60:20. Бүх дөрвөн тоог 2 дахин нэмэгдүүлье.

Пропорцийг зөрчөөгүй. Бүх дөрвөн тоог 4 дахин бууруулъя:

Пропорц зөв байна.

Жагсаалтад орсон өөрчлөлтүүд нь нэгдүгээрт, пропорцийг хялбарчлах, хоёрдугаарт тэдгээрийг бутархай нөхцлөөс чөлөөлөх боломжийг олгодог. Жишээ хэлье.

1) Пропорциональ байна:

200: 25 = 56: x .

Үүнд, эхний харьцааны гишүүд харьцангуй их тоо, хэрэв бид утгыг олохыг хүсч байвал X , тэгвэл бид эдгээр тоон дээр тооцоолол хийх хэрэгтэй болно; гэхдээ харьцааны хоёр гишүүн ижил тоонд хуваагдвал пропорц зөрчигдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Тэдгээрийг тус бүрийг 25-т хуваая. Пропорц нь дараах хэлбэртэй болно.

8:1 = 56: x .

Тиймээс бид илүү тохиромжтой хувь хэмжээг авсан, үүнээс X оюун ухаанаас олж болно:

2) Пропорцийг авч үзье:

2: 1 / 2 = 20: 5.

Энэ харьцаанд бутархай нэр томъёо (1/2) байдаг бөгөөд үүнээс та салж болно. Үүнийг хийхийн тулд та энэ нэр томъёог жишээлбэл, 2-оор үржүүлэх хэрэгтэй болно. Гэхдээ бид пропорцын нэг дунд гишүүнийг нэмэгдүүлэх эрхгүй; түүнтэй хамт туйлын гишүүдийн нэгийг нэмэгдүүлэх шаардлагатай; дараа нь пропорцийг зөрчихгүй (эхний хоёр цэг дээр үндэслэн). Хэт туйлшралын эхнийхийг нэмэгдүүлье

(2 2) : (2 1/2) = 20:5, эсвэл 4:1 = 20:5.

Хоёрдахь туйлын гишүүнийг нэмэгдүүлье:

2: (2 1/2) = 20: (2 5), эсвэл 2: 1 = 20: 10.

Пропорцийг бутархай нөхцлөөс чөлөөлөх өөр гурван жишээг авч үзье.

Жишээ 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

Бутархайг нийтлэг хуваагч руу авъя:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Эхний харьцааны хоёр гишүүнийг 8-аар үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээ 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Бутархайг нийтлэг хуваагч руу авъя:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Дараах хоёр гишүүнийг 14-өөр үржүүлье: 12:15 = 16:20.

Жишээ 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

Пропорцын бүх гишүүнийг 48-аар үржүүлье.

24: 1 = 960: 40.

Зарим пропорц үүссэн асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ пропорцын нөхцлүүдийг янз бүрийн зорилгоор өөрчлөх шаардлагатай болдог. Аль солих нь хууль ёсны, өөрөөр хэлбэл пропорцийг зөрчихгүй байхыг авч үзье. Пропорцийг авч үзье:

3: 5 = 12: 20. (1)

Энд байгаа туйлын нэр томъёог дахин цэгцлэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна.

20: 5 = 12:3. (2)

Одоо дунд нэр томъёонуудыг дахин цэгцэлье:

3:12 = 5: 20. (3)

Хэт болон дунд нэр томъёог нэгэн зэрэг өөрчлөөд үзье.

20: 12 = 5: 3. (4)

Эдгээр бүх харьцаа зөв байна. Одоо эхний харьцааг хоёр дахь, хоёр дахь нь эхнийх нь оронд тавья. Та пропорцийг авна:

12: 20 = 3: 5. (5)

Энэ пропорцоор бид өмнө нь хийсэнтэй ижил зохицуулалтыг хийх болно, өөрөөр хэлбэл бид эхлээд туйлширсан нэр томъёог, дараа нь дундыг, эцэст нь туйл болон дундыг хоёуланг нь нэгэн зэрэг өөрчлөх болно. Та дахин гурван пропорцийг авах болно, энэ нь бас шударга байх болно:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Тиймээс, нэг өгөгдсөн пропорцоос дахин цэгцэлснээр та 7 пропорцийг нэмж авах боломжтой бөгөөд энэ нь 8 пропорцийг бүрдүүлдэг.

Эдгээр бүх пропорцуудын үнэн зөв нь үсгээр бичихэд хялбар байдаг. Дээрх 8 харьцаа нь дараах хэлбэртэй байна.

a: b = c: d; c: d = a: b ;

d: b = c: a; b:d = a:c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Эдгээр хувь хэмжээ бүрт үндсэн өмч нь дараах хэлбэртэй байгааг харахад хялбар байдаг.

зар = МЭӨ.

Тиймээс эдгээр орлуулалт нь пропорцын шударга байдлыг зөрчөөгүй бөгөөд шаардлагатай бол ашиглаж болно.

Головач Александр Григорьевич

"Брест хотын 18-р дунд сургууль" улсын боловсролын байгууллага

Сэдэв: Пропорц. Пропорцын үндсэн шинж чанар. (6-р анги)

Хичээлийн төрөл: шинэ мэдлэгийг судлах, анхан шатны нэгтгэх

Боловсролын: оюутнуудад пропорц ба пропорциональ гишүүдийн тухай ойлголтыг танилцуулах; пропорц унших, харьцаанаас пропорц гаргахыг заах; пропорцын үндсэн шинж чанарыг оюутнуудад танилцуулж, пропорцийг зөв тодорхойлох чадварыг хөгжүүлэх.

Хөгжлийн: оюутнуудын танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг эрчимжүүлэх; санах ой, логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх;

Боловсролын: хөдөлмөр, багаар ажиллах хүндэтгэлийг төлөвшүүлэх.

Уран зохиол: Математик: сурах бичиг. 6-р ангийн тэтгэмж. Ерөнхий боловсрол Орос хэлтэй байгууллагууд хэл сургалт / E. P. Кузнецова [гэх мэт]; засварласан Л.Б.Шнеперман. - Минск: Нат. Боловсролын хүрээлэн, 2010. - 320 х.: өвчтэй.

Тоног төхөөрөмж: сурах бичиг, самбар, шохой, танилцуулга, компьютер, проектор.

Хичээлийн үеэр:

Зохион байгуулалтын үе (2 мин)

Гэрийн даалгавраа шалгах (3 мин)

Мэдлэгээ шинэчлэх (8 мин)

Шинэ материал сурах (12 мин)

Биеийн тамирын минут (2 мин)

Анхдагч нэгтгэх (13 мин)

Гэрийн даалгавар (1 мин)

Тусгал. Дүгнэх. (4 мин)

1. Зохион байгуулалтын мөч

Би оюутнуудын анхаарлыг зохион байгуулдаг. Би чамайг суухыг санал болгож байна. Хичээл тасалсан оюутнуудыг би тэмдэглэдэг.

Тэд сайн уу гэж хэлдэг. Тэд сууна.

2. Гэрийн даалгавраа шалгах

Өнөөдөр бидний хичээл дээр бид "Пропорци. Пропорцын гол шинж чанар."

Мөн бидний хичээлийн зорилго: "Пропорц" гэсэн тодорхойлолттой танилцах; Пропорц ямар элементүүдээс бүрдэх вэ? пропорцын үндсэн шинж чанарыг судлах.

Гэхдээ шинэ сэдвийг судалж эхлэхээсээ өмнө гэрийн даалгавраа шалгацгаая.

3. Мэдлэгийг шинэчлэх

/*анхны санал асуулга*/

Сүүлийн хичээл дээр бид "Тоо ба хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарал" гэсэн сэдэвтэй байсан.

1. Харилцаа гэж юу байдгийг санацгаая?

2. Эдгээр тоо буюу хэмжигдэхүүнийг өөрсдөө юу гэж нэрлэдэг вэ?

3. Гишүүдийг нь тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, хуваавал харьцаа нь юу болох вэ?

Одоо харилцааг хэрхэн уншиж, утгыг нь олж харцгаая.

1. Хоёр тооны (эсвэл хоёр хэмжигдэхүүн) хуваалтыг харьцаа гэнэ.

2. Эдгээр тоо буюу хэмжигдэхүүнийг харилцааны гишүүд гэнэ.

3. Гишүүдийг нь тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж, хуваахад харьцаа өөрчлөгдөхгүй.

1. 25-аас 5-ын харьцаа 5 байна.

2. 33-аас 11-ийн харьцаа 3 байна.

3. 6 ба 14 гэсэн тооны харьцаа .

4. 12-оос 4-ийн харьцаа 3 байна.

5. 30 ба 70 гэсэн тооны харьцаа

6. 55-аас 11-ийн харьцаа 5 байна.

4. Шинэ материал сурах

Залуус аа, ямар тоогоор бидний харилцаа ижил утгатай болохыг надад хэлээч.

Бид тэгш харилцаатай холбоотой бичлэгүүдийг олж авлаа:

Тиймээс хоёр харилцааны тэгш байдал гэж нэрлэгддэгхувь хэмжээ .

Пропорцийг дараах байдлаар бичнэ.

эсвэл

- хандлага а руу б харьцаатай тэнцүү байна в руу г ;

- а -д хамаарна б , Хэрхэн в -д хамаарна г ;

- а , хуваана б , тэнцүү байна в , хуваана г .

Учир нь бичлэгт тооа Тэгээдг ирмэг дээр зогсох, тэдгээрийг ихэвчлэн дууддагпропорцын туйлын нөхцөл . За, учир нь ... тооб Тэгээдв дунд байгаа бол тэдгээрийг зохих ёсоор дуудна -пропорцын дунд гишүүн .

Пропорцийг маягт дээр бичсэн байсан ч эдгээр нэрс хадгалагдана
.

Олж авсан пропорцууд руугаа буцаж, хэт, дунд гишүүд гэж нэрлэе.

Одоо жаахан тооцоо хийцгээе. Хэт ба дунд гишүүнийг бидний харьцаагаар үржүүл

Ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Тэр

Зөв. Энэ мэдэгдлийг гэж нэрлэдэгпропорцын үндсэн шинж чанар .

1 харьцаа нь 6 харьцаатай тэнцүү байна.

Харьцаа 2 нь харьцаа 4-тэй тэнцүү байна.

Харьцаа 3 нь харьцаа 5-тай тэнцүү байна.

Хэт хязгаар нь 25 ба 11, дунд нь 5 ба 55 байна.

Хэт хязгаар нь 33 ба 4, дунд нь 11, 12 байна.

Хэт хязгаар нь 6 ба 70, дундаж нь 14 ба 30 байна.

Пропорцын туйлын гишүүний үржвэр нь түүний дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.

5. Биеийн тамирын хичээлийн минут

За одоо жаахан амарцгаая. Нүдэндээ дасгал хийцгээе. Учир нь Хэрэв өвөл болбол дэлгэцэн дээр цасан ширхгүүд гарч ирэх бөгөөд таны даалгавар бол тэдний хөдөлгөөнийг сайтар хянах явдал юм.

6. Анхдагч нэгтгэх

Одоо бид шинэ эрч хүчээр даалгавруудыг гүйцэтгэж эхэлнэ.

№ 5.27 (амаар)

5.29 (1;3)

5.30 (1;3)

5.31 (1;3) (дамж. 5.32)

№ 5.27

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

№5.29 (1;3)

Хэрэв пропорцийг бүрдүүлнэм Тэгээдn - түүний эрс тэс гишүүд, мөнx Тэгээдy - дундаж:

1) ;

Пропорцын үндсэн шинж чанарууд

• Пропорцийг эргүүлэх.Хэрэв а : б = в : г, Тэр б : а = г : в
• Пропорциональ нөхцлүүдийг хөндлөн үржүүлэх.Хэрэв а : б = в : г, Тэр зар = МЭӨ.
• Дунд болон туйлын нэр томьёоны дахин зохион байгуулалт.Хэрэв а : б = в : г, Тэр

а : в = б : г(пропорцын дунд гишүүний өөрчлөлт), г : б = в : а(пропорцын туйлын нөхцөлийг өөрчлөх).

• Пропорцийг нэмэгдүүлэх, багасгах.Хэрэв а : б = в : г, Тэр

(а + б) : б = (в + г) : г (пропорциональ өсөлт), (а – б) : б = (в – г) : г (пропорциональ хэмжээгээр буурах).

• Нэмэх, хасах замаар пропорц гаргах.Хэрэв а : б = в : г, Тэр

(а + -тай) : (б + г) = а : б = в : г(нэмэх замаар пропорцийг бүрдүүлэх), (а – -тай) : (б – г) = а : б = в : г(хасах замаар пропорцийг бүрдүүлэх).

Нийлмэл (тасралтгүй) пропорцууд

Түүхийн лавлагаа

Уран зохиол

• Ван дер Ваерден, Б.Л. Сэрэх шинжлэх ухаан. Эртний Египет, Вавилон, Грекийн математик. - нэг. Голландаас I. N. Веселовский- М.: GIFML, 1959

бас үзнэ үү

Викимедиа сан. 2010 он.

Синоним:

Бусад толь бичигт "Пропорц" гэж юу болохыг хараарай.

- (Латин, pro for, portio part, portion гэсэн үгнээс). 1) пропорциональ байдал, зохицуулалт. 2) эд ангиудын бие биентэйгээ болон бүхэлд нь харьцах харьцаа. Тоо хэмжээ хоорондын хамаарал. 3) архитектурт: сайн хэмжээтэй. Орос хэлэнд орсон гадаад үгсийн толь...... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

ПРОПОРЦ, пропорц, эмэгтэй. (ном) (лат. пропорцио). 1. Пропорциональ байдал, хэсгүүдийн хоорондын тодорхой хамаарал. Биеийн хэсгүүдийн зөв харьцаа. Элсэн чихэрийг шартай дараах харьцаагаар холино: нэг шар тутамд хоёр хоолны халбага элсэн чихэр. 2. Хоёрын тэгш байдал...... ... Ушаковын тайлбар толь бичиг

Хандлага, харьцаа; пропорциональ байдал. Шоргоолж. диспропорциональ Орос хэлний синонимын толь бичиг. харьцаа Орос хэлний синонимын толь бичгийг үзнэ үү. Практик гарын авлага. М .: Орос хэл. Z. E. Александрова ... Синоним толь бичиг

Эмэгтэй, Франц пропорциональ байдал; ямар нэгэн зүйлд тохирох үнэ цэнэ, тоо хэмжээ; | дэвсгэр. агуулгын тэгш байдал, хоёр дөрвөн оронтой ижил харьцаа; арифметик, хэрэв хоёр дахь тоо нь эхнийхээс дөрөв дэх тооноос хамаагүй их эсвэл бага байвал... Далын тайлбар толь бичиг

- (лат. пропорцио) математикт дөрвөн хэмжигдэхүүний хоёр харьцааны тэгш байдал: a/b =c/d ... Том нэвтэрхий толь бичиг

ПРОПОРЦИОН, математикт дөрвөн хэмжигдэхүүний хоёр харьцааны тэгш байдал: a/b=c/d. Үргэлжилсэн хувь хэмжээ нь гурав ба түүнээс дээш хэмжигдэхүүнүүдийн бүлэг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь дараагийн хэмжигдэхүүнтэй ижил хамааралтай байдаг. Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг

PROPORTION, мөн, эмэгтэй. 1. Математикт: хоёр харилцааны тэгш байдал (3 утгаар). 2. Хэсэг хоорондын тодорхой хамаарал, пропорциональ байдал. Барилгын зарим хэсэгт П. Ожеговын тайлбар толь бичиг. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949, 1992 ... Ожеговын тайлбар толь бичиг

Англи хувь хэмжээ; Герман Пропорц. 1. Пропорциональ байдал, бүхэл хэсгүүдийн хоорондын тодорхой хамаарал. 2. Хоёр харилцааны тэгш байдал. Антинази. Социологийн нэвтэрхий толь, 2009 ... Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

хувь хэмжээ- - [А.С.Голдберг. Англи-Орос эрчим хүчний толь бичиг. 2006] Эрчим хүчний ерөнхий сэдвүүд EN зэрэглэл хэмжигдэхүүн ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

PROPOTION- хоёрын тэгш байдал (харна уу), өөрөөр хэлбэл. a: b = c: d, энд a, b, c, d нь пропорцын гишүүд бөгөөд a, d нь туйлын, b ба c нь дунд байна. Пропорцын үндсэн шинж чанар: пропорцын туйлын нөхцлийн үржвэр нь дундажийн үржвэртэй тэнцүү байна: ad = bс ... Том Политехникийн нэвтэрхий толь бичиг

БА; болон. [лат. proportio] 1. Хэсэг хоорондын пропорциональ хамаарал. Архитектурын бүх пропорцийг хадгалах. Биеийн хамгийн тохиромжтой хэсгүүд. 2. Аливаа зүйлийн хоорондын тодорхой тооны харьцаа. Пропорцийг эвдэх. Элстэй жимсийг хувь хэмжээгээр холих ... ... нэвтэрхий толь бичиг

Пропорц – хоёр харилцааны тэгш байдал, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгш байдал a: b = c: d , эсвэл бусад тэмдэглэгээгээр тэгш байдал

Хэрэв а : б = в : г, Тэр аТэгээд гдуудсан туйлын, А бТэгээд в - дундажгишүүд харьцаа.

"Пропорц"-оос зугтах аргагүй, үүнгүйгээр олон ажлыг хийх боломжгүй. Ганц л гарц бий - энэ харилцааг зохицуулах, пропорцийг аврах хэрэгсэл болгон ашиглах.

Пропорцын асуудлыг авч үзэхээсээ өмнө пропорцын үндсэн дүрмийг санах нь чухал.

Пропорциональ байдлаар

туйлын гишүүний үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна

Хэрэв хувь хэмжээ тодорхойгүй байвал энэ дүрмийн дагуу үүнийг олоход хялбар байх болно.

Жишээлбэл,

Өөрөөр хэлбэл пропорцын үл мэдэгдэх утга - бутархайн утга, хуваарьт энэ нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүний эсрэг байрлах тоо юм , тоологч - пропорцын үлдсэн нөхцлүүдийн үржвэр (энэ үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн хаана байгаагаас үл хамааран).

Даалгавар 1.

21 кг хөвөн үрнээс 5,1 кг тос авсан. 7 кг хөвөн үрээс хэр хэмжээний тос авах вэ?

Шийдэл:

Үрийн жин тодорхой хүчин зүйлээр буурах нь үүссэн тосны жин ижил хэмжээгээр буурахад хүргэдэг гэдгийг бид ойлгож байна. Өөрөөр хэлбэл, тоо хэмжээ нь шууд хамааралтай байдаг.

Хүснэгтийг бөглөцгөөе:

Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн нь бутархайн утга бөгөөд хуваагч нь - 21 - хүснэгтийн үл мэдэгдэх эсрэг талын утга, тоологч - пропорциональ хүснэгтийн үлдсэн гишүүдийн үржвэр.

Тиймээс бид 7 кг үрнээс 1.7 кг тос гарах болно.

руу Зөв Хүснэгтийг бөглөхдөө дараах дүрмийг санах нь чухал.

Ижил нэрс нь бие биенийхээ доор бичигдсэн байх ёстой. Бид хувь хэмжээг хувиар, килограммыг килограммаар гэх мэтээр бичдэг.

Даалгавар 2.

Радиан руу хөрвүүлэх.

Шийдэл:

Бид үүнийг мэднэ. Хүснэгтийг бөглөцгөөе:

Хариулт:

Даалгавар 3.

Алаг цаасан дээр тойрог дүрслэгдсэн байдаг. Сүүдэрлэсэн хэсгийн талбай 27 бол тойргийн талбай хэд вэ?

Шийдэл:

Сүүдэргүй сектор нь өнцөгтэй тохирч байгаа нь тодорхой харагдаж байна (жишээлбэл, секторын талууд нь зэргэлдээх хоёр зөв өнцгийн биссектрисаар үүсгэгддэг). Мөн тойрог бүхэлдээ байх тул сүүдэртэй салбар нь .

Хүснэгт хийцгээе:

Тойргийн талбай хаанаас гардаг вэ?

Хариулт:

Даалгавар 4.Нийт талбайн 82 хувийг хагалж дууссаны дараа хагалах 9 га талбай үлджээ. Бүхэл бүтэн талбайн хэмжээ хэд вэ?

Шийдэл:

Талбай бүхэлдээ 100%, 82% нь хагалсан тул талбайн 100%-82%=18% нь хагалахад үлддэг.

Хүснэгтийг бөглөнө үү:

Хаанаас харахад талбай бүхэлдээ (га) байна.

Хариулт:

Дараагийн даалгавар бол отолт юм.

Даалгавар 5.

Зорчигч тээврийн галт тэрэг хоёр хотын хоорондох зайг 80 км/цагийн хурдтайгаар 3 цагийн дотор туулсан. Ачааны галт тэрэг 60 хурдтай ижил зайг хэдэн цаг туулах вэ? км/ц?

Шийдэл:

Хэрэв та энэ асуудлыг өмнөхтэй адил шийдвэл дараахь зүйлийг авах болно.

ачааны галт тэрэг зорчигчийн галт тэрэгтэй ижил зайд явах хугацаа нь цаг. Өөрөөр хэлбэл, бага хурдтай алхаж байхдаа тэр өндөр хурдтай галт тэрэгнээс илүү хурдан зайг (үүнтэй зэрэгцэн) туулдаг.

Үндэслэлд ямар алдаа гарсан бэ?

Одоогоор бид тоо хэмжээ хаана байсан асуудлуудыг авч үзсэн бие биентэйгээ шууд пропорциональ байна , тэр бол өндөрижил утгатай хэд хэдэн удаа, өгдөг өндөрүүнтэй ижил хэмжээгээр холбоотой хоёр дахь хэмжигдэхүүн (мэдээж буурсантай адил). Энд бид өөр нөхцөл байдалтай байна: зорчигч тээврийн галт тэрэгний хурд илүүачааны галт тэрэгний хурд хэд дахин их боловч зорчигчийн галт тэрэг ижил зайг туулахад шаардагдах хугацаа шаардагдана жижигачааны галт тэрэг шиг олон удаа. Энэ нь бие биенээ үнэлдэг гэсэн үг юм урвуу пропорциональ .

Энэ тохиолдолд бидний одоог хүртэл хэрэглэж байсан схемийг бага зэрэг өөрчлөх шаардлагатай байна.

Шийдэл:

Бид ингэж тайлбарлаж байна:

Суудлын галт тэрэг 80 км/цагийн хурдтайгаар 3 цаг явсан тул км замыг туулсан. Ачааны галт тэрэг нэг цагийн дотор ижил замыг туулна гэсэн үг.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид пропорцийг хийж байсан бол эхлээд баруун баганын нүднүүдийг солих ёстой байсан. Авна: h.

Хариулт: .

Тийм ч учраас, пропорцийг гаргахдаа болгоомжтой байгаарай. Эхлээд шууд эсвэл урвуу хамааралтай ямар төрлийн хамааралтай болохыг олж мэдээрэй.